Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PD⊥平面ABCD,在这个四棱锥中放一个球，

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PD⊥平面ABCD,在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径。（过程，求详细）

Answer 1

设内切球心为O，连结OP、OA、OB、OC、OD，，
设球半径r,
根据三垂线定理，AB⊥PA，BC⊥PC，，侧面是4个直角三角形，
PA=√2a,PC=√2a,
VP-ABCD=a^2*a/3=a^3/3,
VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PAB+VO-PBC+VO-PDC+VO-PAD
a^3/3=a^2r/3+(√2a*a*r/2)/3+(√2a*a*r/2)/3+(a*a/2)*r/3+(a*a/2)*r/3,
∴r=(2-√2）a/2.