求函数 f(x,y)=(x^2-2x)(y^2-2y) 的极值点
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f'x=(2x-2)(y^2-2y)
f'y=(x^2-2x)(2y-2)
令f'x=f'y=0，解得驻点：x1=1，y1=1；x2=0，y2=0；x3=2，y3=0；x4=0，y4=2
A=f''xx=2(y^2-2y)
B=f''xy=(2x-2)(2y-2)
C=f''yy=2(x^2-2x)
（1）x1=1，y1=1
A=-2，B=0，C=-2
AC-B^2=4>0，且A<0
所以f(1,1)=1是极大值
（2）x2=0，y2=0
A=0，B=4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(0,0)不是极值
（3）x3=2，y3=0
A=0，B=-4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(2,0)不是极值
（4）x4=0，y4=2
A=0，B=-4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(0,2)不是极值
综上所述，f(1,1)=1是极大值
f'y=(x^2-2x)(2y-2)
令f'x=f'y=0，解得驻点：x1=1，y1=1；x2=0，y2=0；x3=2，y3=0；x4=0，y4=2
A=f''xx=2(y^2-2y)
B=f''xy=(2x-2)(2y-2)
C=f''yy=2(x^2-2x)
（1）x1=1，y1=1
A=-2，B=0，C=-2
AC-B^2=4>0，且A<0
所以f(1,1)=1是极大值
（2）x2=0，y2=0
A=0，B=4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(0,0)不是极值
（3）x3=2，y3=0
A=0，B=-4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(2,0)不是极值
（4）x4=0，y4=2
A=0，B=-4，C=0
AC-B^2=-16<0
所以f(0,2)不是极值
综上所述，f(1,1)=1是极大值
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2024-10-13 广告
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