Question

设椭圆M:x^2/a^2+y^2/2=1.....

第二问是向量PE*向量PF

Answer 1

设椭圆M：x²/a²+y²/2=1的右焦点为F₁，直线L：x=a²/√(a²-2)与x轴的交点为A，
若OF₁+2AF₁=0；(1)求M的方程；(2)设P是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+(y-2)²=1
上的任意直径，求向量的数量积PE•PF 的最大值。
解;（1）由椭圆方程可知：b²=2，故a²-2=a²-b²=c²，∴直线L：x=a²/√(a²-2)=a²/c=a/e，即
直线L是椭圆的右准线，故A的坐标为(a²/c，0)；F₁的坐标为(c，0)；OF₁=(c，0)；
AF₁=(c-a²/c，0)；2AF₁=(2(c-a²/c)，0)；故由OF₁+2AF₁=c+2c-2a²/c=3c-2a²/c=0，
得c²=(2/3)a²=a²-2，故得a²=6；于是得椭圆方程为x²/6+y²/2=1.
(2)将椭圆方程改写成参数形式：
x=(√6)cost，y=(√2)sint；那么动点P的坐标为(√6)cost，(√2)sint)；
在把圆的方程也改写成参数形式：x=cosu，y=2+sinu；那么可设E点的坐标为(cosu，2+sinu)；
由于EF是圆的直径，故F点的坐标为(cos(π+u)，2+sin(π+u))=(-cosu，2-sinu)；
于是PE=(cosu-(√6)cost，2+sinu-(√2)sint)；PF= (-cosu-(√6)cost，2-sinu-(√2)sint)
∴PE•PF= [cosu-(√6)cost][-cosu-(√6)cost]+[2+sinu-(√2)sint][2-sinu-(√2)sint]
=-(cos²u-6cos²t)+[2-(√2)sint+sinu][2-(√2)sint-sinu]
=-(cos²u-6cos²t)+[2-(√2)sint]²-sin²u=-(cos²u+sin²u)+6cos²t+4-4(√2)sint+2sin²t
=3+6(1-sin²t)-4(√2)sint+2sin²t=-4sin²t-4(√2)sint+9=-4[sin²t+(√2)sint]+9
=-4[(sint+√2/2)²-1/2]+9=-4(sint+√2/2)²+11≦11
即当t=-π/4或5π/4时，PE•PF获得最大值，最大值为11。

Answer 2

解：⑴点A的坐标为(a^2/√a^2－2，0)，F1的坐标为(√a^2－2，0)，
由OF1＋2AF1＝0得OF1＝2F1A，而OF1与F1A的坐标分别为(√a^2－2，0)，((a^2/√a^2－2)－√a^2－2，0)，
∴√a^2－2＝2((a^2/√a^2－2)－√a^2－2)，
解得a^2＝6，
∴椭圆方程为x^2/6＋y^2/2＝1；
⑵设点P坐标为(√6cosθ，√2sinθ)，E(cosβ，2＋sinβ)，则点F坐标为(－cosβ，2－sinβ)，
∴向量PE、PF的坐标分别为(cosβ－√6cosθ，2＋sinβ－√2sinθ)、(－cosβ－√6cosθ，2－sinβ－√2sinθ)，
PE•PF＝(cosβ－√6cosθ)(－cosβ－√6cosθ)＋(2＋sinβ－√2sinθ)(2－sinβ－√2sinθ)
＝10＋cos2β－(4(sinθ)^2＋4√2sinθ)，
又cos2β≤1，
而－(4(sinθ)^2＋4√2sinθ)＝－4(sinθ＋√2/2)^2＋2，
∵－√2/2∈[－1，1]，
∴－(4(sinθ)^2＋4√2sinθ)≤2，
∴10＋cos2β－(4(sinθ)^2＋4√2sinθ)≤13，
即向量PE*向量PF的最大值为13。