Question

已知函数f(x)=ax2+bx3的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.

1.求实数a,b的值
2.求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围.

Answer 1

代入（1,4），得a+b=4 ①
f(x)求导得2ax+3bx²，由题意x=1时，导数为-1/(-1/9)=9.
则2a+3b=9 ②，
由①、②解得a=3,b=1.
切线斜率范围即2ax+3bx²范围，代人a,b,用二次函数知识可得范围是：大于或等于-3.

Answer 2

1
f(x)=ax^2+bx^3
代入M(1,4)
4=a+b
f'(x)=2ax+3bx^2
代入x=1
f'(1)=2a+3b
直线x+9y=0 的斜率k=-1/9
直线与切线垂直
则f'(1)=9
9=2a+3b
联立
4=a+b 9=2a+3b
解得
a=3 b=1
2
f'(x)=6x+3x^2
=3(x^2-2x)
=3(x^2-2x+1-1)
=3(x-1)^2-3
x=1时f'(x)有最小值-3
切线的斜率的取值范围y≥-3

Answer 3

f(x)的斜率为f'(x)=2ax+3bx^2
M点的切线与y=-x/9垂直，则(-1/9)*f'(1)=-1
即，2a+3b=9 ....(1)
M点：a+b=4 .....(2)
解（1），（2）得a=19/5 ,b=1/5
f(x)的斜率为f'(x)=(38x+3x^2)/5，x为任意实数