Question

已知函数f(x)=x^4+(2-λ)x^2+(2-λ),是否存在a使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？

详细呀详细

Answer 1

已知函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+(2-λ),是否存在λ使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？
解：f′(x)=4x³+2(2-λ)x=4x[x²+(2-λ)/2]=4x{x+√[(2-λ)/2]}{x-√[(2-λ)/2]}
为使f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数，必须使√[(2-λ)/2]=1，(2-λ)=2，即λ=0；
当λ=0时f′(x)=4x(x+1)(x-1)；当-∞<x<-1或0<x<1时f′(x)<0，即在区间(-∞，-1)∪(0，1)内f(x)单调减；当-1<x<0或1<x<+∞时f′(x)>0，即在区间(-1，0)∪(1，+∞)内f(x)单调增。

追问

答案不是4吗？

追答

对不起，犯了一个低级错误！忘记把x²+(2-λ)/2改写成x²-(λ-2)/2了！重作如下：
f′(x)=4x³+2(2-λ)x=4x[x²+(2-λ)/2]=4x[x²-(λ-2)/2]=(4x{x+√[(λ-2)/2]}{x-√[(λ-2)/2]}
为使f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数，必须使√[(λ-2)/2]=1，(λ-2)/2=1，
即λ=4；当λ=4时f′(x)=4x(x²-1)=4x(x+1)(x-1)；
当-∞0，即在区间(-1，0)∪(1，+∞)内f(x)单调增。

Answer 2

解：
令x²=t，x在(-∞，-1]上，t在[1，+∞)上，且随x递增，t递减；x在(-1，0)上，t在(0，1)上，且随x递增，t递减。题意转化为是否存在λ，使t≥1时是增函数，0<t<1时是减函数。
f(t)=t²+(2-λ)t+(2-λ)
对称轴(λ-2)/2=1
λ=4
即当λ=4时满足题意。

追问

谢谢，谢谢！

追答

别客气，呵呵。