Question

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△ABC是边长为9的等边三角形，点D、E分别在BC边和AC边上，BD=3. CE=2 ,求证：∠ADE=60°

Answer 1

AB/BD=9/3=6/2=DC/EC
角B=C
所以三角形ABD相似于三角形DCE
所以角CDE=BAD
角CDE+ABD=BAD+ABD=120度
所以∠ADE=60度

Answer 2

证：AB=9，BD=3，DC=9-3=6，CE=2，
AB:BD=DC:CE=3
在△ABD和△DCE中，因为∠B=∠C=60°，AB:BD=DC:CE，
所以 △ABD 和 △DCE 相似，所以 ∠BAD=∠EDC。
在△ABD 中，因为三角形内角和为180°，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∠B=60°，
所以，∠BAD+∠BDA = 120°，∠EDC+∠BDA = 120°。
因为，∠BDA+∠ADE+∠EDC=180° （平角）
所以 ∠ADE =180°-∠BDA-∠EDC=60°

Answer 3

简解：由已知得 DC=6，角B=角C=60°
AB/DC=9/6=3/2， BD/CE=3/2
∴ AB/DC=BD/CE
又角B=角C
∴△ABD∽△DCE
∴角BAD=角CDE
而 角ADE+角CDE=角B+角BAD
∴∠ADE=角B=60°

Answer 4

∵△ABC是边长为9的等边三角形
∴∠B=∠C=60°, AB=BC=9
∵BD=3
∴CD=9-3=6
∵CE=2
∴CD:CE=6:2=3:1
∵AB:BD=9:3=3:1
∴CD:CE=AB:BD
∵∠B=∠C
∴⊿ABD∽⊿DCE
∴∠BAD=∠CDE
∵∠ADC=∠CDE＋∠ADE=∠B＋∠BAD
∴∠ADE=∠B=60°

Answer 5

AB/BD=9/3=6/2=DC/EC
∠B=∠C
所以△ABD相似于△DCE--->∠ADB=∠DEC
∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°=∠DEC+∠ADE+∠EDC------>
∠ADE=180°-(∠EDC+∠DEC)=∠ECD=60°

Answer 6

利用余弦定理求出AD，DE，AE长度，在利用余弦定理证明。