Question

求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x

答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~~

Answer 1

设f(x)除以(x-1)(x^2-2x+3)余式为a，则有
f(x)=k(x-1)+2
f(x)=m(x^2-2x+3)+4x+6
f(x)=n(x-1)(x^2-2x+3)+a
(1)
用(x-1)去除(1)式，可得
f(x)/(x-1)=n(x^2-2x+3)+a/(x-1)=[n(x^2-2x+3)+a]+2/(x-1)
用(x^2-2x+3)去除(1)式，可得
f(x)/(x^2-2x+3)=n(x-1)+a/(x^2-2x+3)=[n(x-1)+b]+(4x+6)/(x^2-2x+3)
可得
a=a(x-1)+2=b(x^2-2x+3)+4x+6
令a=bx+c，得
(bx+c)(x-1)=bx^2-(b-c)x-c=bx^2-(2b-4)x+3b+4
两端比较得
b-c=2b-4，-c=3b+4；解得b=-4，c=8
∴
a=bx+c=-4x+8=-4(x-1)+4，b=-4
∴a=a(x-1)+2=-4(x-1)^2+4(x-1)+2=-4(x^2-2x+3)+4x+6=-4x^2+12x-6
即f(x)除以(x-1)(x^2-2x+3)的余式为
-4x^2+12x-6
希望对你有帮助

Answer 2

这种题好象计算量不小。
我想到一个做法，方法肯定对，不知是不是最简单的。

第一步在除以(x-2)^3余式为3x的多项式中找能被(x-1)^2整除的，
也就是找a(x)，使得g(x)=a(x)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2可以除尽
这个找法不难，因为g(x)能除尽(x-1)^2，因此g(1)=0，g'(1)=0，
由g(1)=0可得：-a(1)+3=0，则a(1)=3
g'(x)=a'(x)(x-2)^3+3a(x)(x-2)^2+3
由g'(1)=0可得：-a'(1)+3a(1)+3=0，将a(1)=3代入解得：a'(1)=12
因此满足条件的最低次多项式a(x)=3+12(x-1)，即a(x)=12x-9
则g(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x
（下面可自行验算(12x-9)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2是可以除尽的，我验算过）

第二步：找h(x)=b(x)(x-1)^2+2x，使得h(x)除以(x-2)^3可以除尽，方法与上面差不多。
h'(x)=b'(x)(x-1)^2+2b(x)(x-1)+2
h''(x)=b''(x)(x-1)^2+4b'(x)(x-1)+2b(x)
由h(2)=0得：b(2)+4=0，则b(2)=-4
由h'(2)=0得：b'(2)+2b(2)+2=0，可得：b'(2)=6
由h''(2)=0得：b''(2)+4b'(2)+2b(2)=0，解得：b''(2)=-16
因此可设b(x)=-4+6(x-2)-8(x-2)^2即可（自行验证此时有b(2)=-4，b'(2)=6，b''(2)=-16）
整理后：b(x)=-8x^2+38x-48
因此满足条件的最低次多项式h(x)=(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
（自行验证h(x)除以(x-2)^3可以除尽）

第三步：g(x)+h(x)就是满足条件的多项式
原因是g(x)除以(x-1)^2可除尽，h(x)除以(x-1)^2余式是2x，因此g(x)+h(x)除以(x-1)^2余式也是2x；
g(x)除以(x-2)^3余式是3x，h(x)除以(x-2)^3可以除尽，因此g(x)+h(x)除以(x-2)^3余式也是3x。

最后就是计算较大的整理工作了：
g(x)+h(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x+(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
=24-65x+66x^2-27x^3+4x^4

Answer 3

他的算没错，我有个办法可以使他的计算过程缩短三分之一！就是先对要求的a(x)变形！
具体做法如下：设r1(x),r2(x),我们要的找的多项式要满足，r1(x)(x-1)^2+2x=r2(x)(x-2)^3+3x，对其移项变形：r1(x)(x-1)^2=r2(x)(x-2)^3+x，然后参照第一步就可以一下子搞定了。结果验证过了，一样的。

Answer 4

建议去看下 线性代数 中的 中国剩余定理