Question

证明:对任意正整数n,不等式ln（n+1）/n<（n+1）/（n^2）

Answer 1

令f(x)=xln(x+1)－xlnx－(x+1)/x，x>=1。
则f'(x)=ln(x+1)－lnx+x/(x+1)－1+1/x^2，
f''(x)=1/(x+1)－1/x+1/(x+1)^2－2/x^3=－1/【(x+1)x】+1/(x+1)^2－2/x^3＝－1/【x(x+1)^2】－2/x^3<0
于是f'(x)是递减函数，注意到lim (x趋于无穷)f'(x)=lim ln(1+1/x)+1/x^2－1/(x+1)=0，因此f'(x)>0对任意的x>=1。
故f(x)是递增函数，但lim (x趋于无穷)f(x)=lim 【xln(1+1/x)－(x+1)/x】＝0，于是f(x)<0对所有的x成立。即有ln(1+1/x)<(x+1)/x^2，x>=1时。令x取正整数即可。