Question

过椭圆x05/9+y05/4=1内一点(1,0)引动弦AB,求弦AB的中点M轨迹方程。

Answer 1

椭圆方程为4x²+9y²-36=0
1) 当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=1,此时弦AB的中点坐标即为点(1,0)
2) 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1)
直线AB与椭圆的两交点坐标为(x1,y1), (x2, y2)
中点M的坐标为(x, y)
x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2=k(x-1)
将直线AB的方程代入椭圆整理得
(4+9k²)x²-18k²x+9k²-36=0
x1+x2=18k²/(4+9k²)
x=9k²/(4+9k²) y=k(x-1)=-4k/(4+9k²)
//***********************************************//
// x/y=(9k²)/(-4k)=-9k/4
// k=-4x/9y
// 将上式代入y=k(x-1)
//************************************************//
从而得到 4x(x-1)+9y²=0
此方程即M的轨迹方程,是一个椭圆
//****//里面的内容可以忽略,写出来是为了方便理解下面的方程是如何推导出来的.

Answer 2

设A(X1,Y1),B(X2,Y2),M（x0,y0）.
x1²/9+y1²/4=1,x2²/9+y2²/4=1
做差得k=Y1-Y2/X1-X2=-4(x1+x2)/9(y1+y2)=-4x0/9y0
∵k=-4x0/9y0=(y0-0)/(x0-1)
∴9x0²+4y0²-4x0=0
即9x²+4y²-4x=0为所求。