Question

求曲线y=x^2关于直线y=x+1对称的曲线方程

Answer 1

求曲线y=x²关于直线L:y=x+1对称的曲线方程
解：设P(x，y)是曲线y=x²是任意一点，Q(x′，y′)是其关于直线y=x+1对称的点，那么PQ的中点
((x+x′)/2，(y+y′)/2)必在其对称轴y=x+1上，故有等式：
(y+y′)/2=(x+x′)/2+1，即有(x+x′)-(y+y′)+2=0............(1)
PQ⊥L，故PQ所在直线的斜率KPQ=(y-y′)/(x-x′)=-1，即有：
(x-x′)+(y-y′)=0...........(2)
(1)+(2)得2x-2y′+2=0，即有x=y′-1..........(3)
(1)-(2)得2x′-2y+2=0，即有y=x′+1..........(4)
将(3)(4)代入原曲线方程y=x²，即得x′+1=(y′-1)²，化简得x′=(y′)²-2y′，照顾习惯，把x′，y′ 改写成
x，y，便得到曲线y=x²关于直线y=x+1对称的曲线方程为x=y²-2y.

Answer 2

设所求曲线上任一点为P(x，y)其对称点为Q(x’，y’)，则

PQ的中点为M((x+x’)/2，(y+y’)/2)，因为对称，所以M在直线X-Y+1=0上，所以
[(x+x’)/2]-[(y+y’)/2]+1=0，化简得
(x+x’)-(y+y’)+2=0 …………①

PQ连线的斜率为(y-y’)/(x-x’)，因为轴对称，所以直线PQ与直线X-Y+1=0垂直，即二者斜率乘积为-1，即
[(y-y’)/(x-x’)]*1= -1，化简得
(x-x’)+(y-y’)=0 …………②

①②联立，以x’、y’为未知数，解得
x’=y-1
y’=x+1
因为点Q(x’，y’)在曲线Y=2^X上，将Q的坐标代入Y=2^X得
x+1=2^(y-1)，化简即得所求的曲线方程：
y=1+log<2>(x+1) 尖括号内的数是底数。
也可写成2^y=2x+2