Question

函数F(X)满足f(x+2)=-1/f(X),求证:F(X)是周期函数,并求出它的一个周期 求详细过程，并给出解释，谢谢！

Answer 1

【厦飞雁 知道】
题目：
函数F(X)满足f(x+2)=-1/f(X),求证:F(X)是周期函数,并求出它的一个周期 求详细过程，并给出解释。

解答：
∵f(x+2)=-1/f(X)
∴f(X)= -1/f(X-2)
∴f(x+2)=-1/f(X)=-1/[-1/ f(X-2)]= f(X-2)
∴f(X)= f(X-4)
∴周期为4.

亲，不懂再问哈——

追问

∵f(x+2)=-1/f(X)
∴f(X)= -1/f(X-2)
怎么来的，符号为什么变？

追答

这是换元法类似于，就是把两边括号了的东西同时减去一个相等的数就好；

比如这道题是两边括号了的东西同时减去2，那么就是：

f(x+2-2)=-1/f(X-2)也就是f(X)= -1/f(X-2)啦，嘿嘿，

可能第一次的做法有些跳跃性，这回明白了吗？嘿嘿，不懂正再问哈——

Answer 2

因为f(x+2)=-1/f(X),所以 f(X)不为0 f(x+2)*f(x)=-1 用x+2替换x 则有 f(x+4)*f(x+2)=-1 即：f(X+2)f(x)=f(X+4)f(x+2) 即：f(x)=f(x+4) 周期为4
虽然不怎么严密，凑合着用

Answer 3

解：f(x+2)*f(X),=-1
f(X)*f(x-2）=-1
则f(x+2)=f(x-2)所以f（x）=f（x-4）故T=4

追问

f(x+2)*f(X),=-1
f(X)*f(x-2）=-1
符号为什么变？

追答

因为对于每一个x，等式f(x+2)*f(x)=-1均成立，所以把所有的x均换成x-2也要成立，即f(x)*f(x-2）=-1成立，于是综合一下就得出f（x）=f（x-4），T=4.
比如：当x=6 时，f（8）*f(6)=-1
又当代入x-2时，即x=4 时，f（6）*f(4)=-1;
所以综合等式得：f（8）=f(4)。T=4.
好好体会一下吧，上面的其实就是这个过程，只不过是抽象的。
这种递推在数学中经常用到，特别是有关周期的，好好体会一下，加油！