Question

若函数f（x）=ax³-x²+x-5在（-∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围。

求详细解答

Answer 1

函数f(x)=ax³-x²+x-5在（-∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围
解：
对f(x)求导，得f′(x)=3ax^2-2x+1,当且仅当y=3ax^2-2x+1在（-∞，+∞）恒大于0时，函数f(x)在（-∞，+∞）上单调递增。∴a＞0且△＜0，解得a＞1/3。
又a=1/3时，f′(x)在x=1时f′(1)=0，f(x)是严格单调增函数。
综上所述，a＞=1/3。

追问

怎么知道y'=3ax^2-2x+1，导函数在R内恒大于等于0.我知道大于，等于是哪得出的

Answer 2

在R上递增则f'(x)在R上恒大于0
f'(x)=3ax²-2x+1>0恒成立
所以开口向上，a>0
且△<0
4-12a<0
所以a>1/3

Answer 3

f'（x）＝3ax^2－2x＋1≥0在R上恒成立
若f（x）＝ax^3－x^2＋x－5在R上单调递增
则f'（x）＝3ax^2－2x＋1≥0在R上恒成立
对于3ax^2－2x＋1＝0
根的判别式＝4－4×3a≤0
开口向上，则a＞0(抛物线开口向上且在横轴之上）
所以a≥1/3

追问

怎么知道y'=3ax^2-2x+1，导函数在R内恒大于等于0.我知道大于，等于是哪得出的

Answer 4

解：f'（x）＝3ax^2－2x＋1≥0在R上恒成立
若f（x）＝ax^3－x^2＋x－5在R上单调递增。
则f'（x）＝3ax^2－2x＋1≥0在R上恒成立
对于3ax^2－2x＋1＝0
根的判别式＝4－4×3a≤0
开口向上，则a＞0
所以a≥1/3

追问

怎么知道y'=3ax^2-2x+1，导函数在R内恒大于等于0.我知道大于，等于是哪得出的

Answer 5

函数f（x）=ax³-x²+x-5在（-∞，+∞）上单调递增
说明f'(x)=3ax²-2x+1在（-∞，+∞）上恒大于等于0，所以f'(x)应该开口朝上且f'(x)=0至多只有一个解，所以a>0且Δ<=0