Question

格林公式∫Pdx+Qdy与路径无关,如何导出∫（x^2+2xy)dx+(x^2+y^4)dy=∫x^2dx+∫(1+y^4)dy

Answer 1

如何用格林公式导出∮(x²+2xy)dx+(x²+y⁴)dy=∫x²dx+∫(1+y⁴)dy
解：格林公式：‹C›∮Pdx+Qdy=‹D›∫∫[(∂Q/∂x)-(∂P/∂y)]dxdy
在本题中，P=x²+2xy；Q=x²+y⁴；因此∂Q/∂x=2x，∂P/∂y=2x，于是(∂Q/∂x)-(∂P/∂y)=2x-2x=0；
请检查一下原题是否有错！

追问

原题没问题，由于(∂Q/∂x)-(∂P/∂y)=2x-2x=0，∫Pdx+Qdy与路径无关，答案上写的，推出∮L(x²+2xy)dx+(x²+y⁴)dy=∫x²dx+∫(1+y⁴)dy
∮L其中L为由点（0,0）到B（1，1)的曲线y=sinπx/2.有解

追答

解：格林公式：‹C›∮Pdx+Qdy=‹D›∫∫[(∂Q/∂x)-(∂P/∂y)]dxdy
在本题中，P=x²+2xy；Q=x²+y⁴；因此∂Q/∂x=2x，∂P/∂y=2x，于是(∂Q/∂x)=(∂P/∂y)=2x；
因此∮(x²+2xy)dx+(x²+y⁴)dy与积分路径无关，故从(0，0)到(1，1)，可先由(0，0)沿x轴到
(1，0)再到(1，1)，于是可取(1，0）作定点，可将沿闭路的积分变为普通的积分，由公式：
∮Pdx+Qdy=[1，x]∫P(x，yo)dx+[0，y]∫Q(xo，y)dy得：
∮(x²+2xy)dx+(x²+y⁴)dy=[1，x]∫x²dx+[0，y]∫(1+y⁴)dy=(x³/3)-1+y+(1/5)y^5.