Question

高中数学题！高手进！ 在平面直角坐标系中，有n个三角形沿x轴正方向排列。

在平面直角坐标系中，有n个三角形沿x轴正方向排列。第1个三角形的三个顶点分别为O1(0,0)、A1(S1,H1)、B1(S2,0)。第n个三角形的上顶点为An(Sn,Hn)，左顶点为On( S(n-1),qH(n-1) )，右顶点为Bn( S(n+1),qH(n-1) )（n>1）；Sn=a1+a2+…+an，Hn=qH(n-1) + bn（n>1,H1=b1），an=aq^(n-1) + 4，bn=(2n+1)b。（a>0,b>0,0<q<1）
(1)已知b=1-q，顶点An恒在直线y=kx上，求a的值。（k为定值）
(2)已知圆锥曲线C1、C2有共同顶点，其焦点均在x轴上，直线y=kx是C1的一条渐近线，k是C2的离心率，点(m,0)是C2的焦点。将直线y=kx平移后过点(0,m)，再将其纵向缩短为原来的1/t（t>1），得到直线j。此时j与C1、C2的四个交点从下到上依次为D、E、F、H，且│DE│、│EF│、│FH│成等差数列对于任意m≠0恒成立，求t的值。
(3)已知函数F(x)的导数是f(x)，f(x)的图象纵向伸长2(√15)/5倍后恰好与直线j重合。函数g(x)=1/2*[3-f(x)]F(x)+8，h(x)=[4-f(x)][5-2f(x)]²，p(x)与h(x）关于直线x=Su对称。若F(0)=-18，m=-2，所有三角形均为等腰三角形（两腰都与y轴不垂直），求证：有且仅有第u个三角形是恰好被g(x)、h(x)和p(x)这三个函数图象共同地完全包围的。（u为某一正整数，解答时所涉及的方程可直接写出，无需过程）
注：2(√15)/5表示五分之二根号十五，注意第u个三角形是“恰好”被g(x)、h(x)和p(x)这三个函数图象共同地“完全”包围的，我主要问的是第3问。
g(x)=1/2乘以[3-f（x）]F（x）再加8
注意：a>=0

Answer 1

顶点An恒在直线y=kx上:Hn=kSn
an=aq^(n-1) + 4,
Sn=a1+a2+…+an=a(1-q^n)/(1-q)+4n
S2=a(1+q)+8
Hn=qH(n-1) + bn（n>1,H1=b1），H2=qH1+b2=qb1+b2,
bn=(2n+1)b,b2=5b,b1=3b,H2=3qb+2b=(3q+5)b
b=1-q,H2=(3q+5)(1-q)=5-2q-3q^2=kS2=a(1+q)k+8k,a=(5-8k-2q-3q^2)/(k+kq)
H1=kS1=ka1=ak+4k=b1=3b=3(1-q),a=(3-3q-4k)/k=(5-8k-2q-3q^2)/(k+kq)
(5-8k-2q-3q^2)=(1+q)(3-3q-4k)=3-3q-4k+3q-3q^2-4qk=3-4k-4kq-3q^2
2-2q=4k-4kq,4k=2,k=1/2,a=(5-8k-2q-3q^2)/(k+kq)=2(1-3q)
H3=qH2+b2=q^2b1+(1+q)b2=[3q^2+5q+5](1-q)=kS3=k(1+q+q^2)a+12k
3q^2+5q+5-3q^3+5q^2+5q=5+10q+8q^2-3q^3
=(1+q+q^2-3q-3q^2-3q^3)+6=7-2q-2q^2-3q^3
-2+12q+10q^2=0,5q^2+6q-1=0,,0<q<1,q=(-6+56^0.5)/10=(14^0.5-3)/5
a=2(1-3q)=2(14-3*14^0.5)/5=(28-6*14^0.5)/5

追问

a=2(1-3q).k=1/2

追答

??
2-2q=4k-4kq=4k(1-q)=2(1-q).4k=2,k=1/2
a=(5-8k-2q-3q^2)/(k+kq)=(1-2q-3q^2)/(1/2+q/2)=2(1-3q)(1+q)/(1+q)=2(1-3q)

追问

第一问分别算出Hn、Sn来比较就能得出结果。往下做吧