Question

求解一道数分极限证明题

设f(x)在区间[0,+∞)上可导，当x趋向于+∞时，(f(x)+f'(x))以A为极限。证明：当x趋向于+∞时，f(x)以A为极限。

大佬们，求证啊。小弟先行谢过~

Answer 1

这不是太明显了.
题目就是想证明f'(x)在x趋向于+∞时极限是0.
反证！
如果f'(x)在x趋向于+∞时极限不是0. 比如是c，c大于零小于零都无所谓
所以f(x)以A-c为极限。这是不可能的 在最远点如果导函数不为零
那么几何意义上函数就是有递增或者递减的趋势 即切线有斜率 函数f就不可能有固定的极限。

如果非得用式子证明
还是反证 假设c>0
对任意的epsl>0,存在一个delta>0,当x>delta时,有 |f(x)- A-c |<epsl 这是f(x)以A-c为极限的定义
因为x>delta 所以肯定存在一个x0介于x和delta之间
用拉格朗日中值定理展开的 f(x)=f(x0)+f`(a)(x-x0)
所以|f(x)- A-c |<epsl -->| f(x0)+f`(a)(x-x0)- A-c |<epsl
由于x0介于x和delta之间 所以x0> delta
所以| f(x0)+A-c | < epsl 但由于 f'(x)在x趋向于+∞时极限是c>0 x-x0又是一个数
所以f`(a)(x-x0) >0 不可能会被一个无穷小量epsl 控制住

追问

我一开始做这题目的时候也想过f'(x)=0这问题，但是标准答案并非根据此法证明的，应该说，题目条件不能保证f'(x)=0一定成立。还有别的方法吗大哥~~

追答

题目条件不能保证f'(x)=0一定成立.. 不成立就出问题了。
标准答案是怎么做的。
不是说f'(x)=0成立 是f'(x)在x趋向于+∞时极限是0 你可明白

追问

标准答案是：将分子分母同乘e^x然后在证明。

追答

嗯标准答案做的很巧，但关键的是你要理解背后的几何意义。
lim f(x)
= lim e^x * f(x) / e^x (分子分母都趋于无穷)
=(L`Hospital 法则) lim [e^x * f(x)]` / [e^x]`
=lim e^x(f(x)+f'(x)) / e^x
=lim f(x)+f'(x)
=A