Question

函数fx=x+2cosx在区间[0，x/2]上的最大值为-—— [0,2π]上最大值为—— [-π/2,0π]上最大值为——

Answer 1

第一问是[0, π/2]吧？以下sqrt为开方。
f(x) = x + 2cos(x)，求导：
f'(x) = 1 - 2sin(x)。
第一问：在[0,π/2]上，x小于30度时导数为正，函数递增；大于30度时导数为负，函数递减。所以最大值在x = 30度时取到，答案是f(π/6) = π/6 + sqrt(3)；
第二问，在[0,2π]上，导数的零点有两个，一个是x = π/6时取到，且为一个局部极大值；另一个是x = 5π/6取到，函数的单调性为：
[0, π/6]，导数为正，函数单调递增；
(π/6, 5π/6]，导数为负，函数单调递减；
(5π/6, 2π]，导数为正，函数单调递增。
因此，最大值要比较两个点，一个是π/6处，一个是2π处，由于f(2π) = 2π + 2 > f(π/6)，所以第二问答案是：2π + 2；
第三问，不知你问的哪个区间。
不过确定的是，函数在[-π/2, π/6)上都是正的，是单调递增，如果能够取到π/6，那么最大值就是f(π/6)。总之，如果该问的区间包括2π，那么最大值就是和第二问一样，如果不包括，你自己用导数判断下吧，很容易的。

Answer 2

fx′=1-2sinx，fx′≤0时，函数有最大值，即1-2sinx≤0，sinx≥1/2
在区间[0，π/2]上，π/6≤x≤π/2,且当x=π/6时，函数取最大值：fxmax=(π/6)+√3
同理：在区间[0，2π]上，π/6≤x≤5π/6，且当x=5π/6时，函数取最大值：fxmax=(5π/6)+√3
在区间[-π/2，0]上，sinx≤0，∴fx′≥1，函数最大值：fxmax=0+2=2。