Question

一道高中数学题，

满足“3/(1/a+1/b+1/c)”称为a,b,c三个正实数的“调和平均数”，若正数x, y满足“x, y, xy
　　的调和平均数为3”，则x+2 y的最小值是
　　A．3 B．5 C．7 D．8
我解得x+y+1=xy，又有（x+y）（x+y）≥4xy得到（x+y）（x+y）≥4（x+y）+4，令t=x+y，t>0，得到二次函数，然后解出来没答案
————我就是想知道我的方法为什么是错的

Answer 1

x+y+1=xy

所以x=(y+1)/(y-1)>0
解得y>1

x+2y=(y+1)/(y-1)+2y=1+[2/(y-1)]+2(y-1)+2=3+[2/(y-1)]+2(y-1)>=3+2√{[2/(y-1)]*2(y-1)}
=7
选C

追问

那为什么我这方法求不出来？

追答

首先因为求的是x+2y, 你那个t=x+y用不上。。
然后因为（x+y)(x+y）≥4xy 取等号的条件是x=y。但是x+2y取最小值的时候，x≠y。这样求永远也求不到x+2y的最小值

Answer 2

高中数据还给老师了，给你提供个思路
1，你可以画个数轴，x+y+1这个曲线画出来，然后直接x+2y=t斜率不变，在数轴上平移，与曲线交点最小值时求出t值
2.这个方法我不确定正解，可以用1验证下。
x+y+1=xy,求出x=(y+1)/(y-1),则x+2y=(y+1)/(y-1)+2y=2/(y-1)+2y+1>=4sqrt(y/(y-1))+1当y无穷大时有最小值，最小值为5

追问

不是5

追答

我是算不出来，2的方法可能有问题，1是没问题，不过我忘了x+y+1=xy的曲线是个啥曲线了

Answer 3

x y 1=xy，提取y，用x表示y，再代入到x 2y里，然后就可以了

追问

那为什么我这方法求不出来？