Question

△ABC中，AC／AB=cosB／cosC,①证明B=C

△ABC中，AC／AB=cosB／cosC ①证明B=C
②若cosA=-1/3,求sin(4B+ 1/3π) 可老师最后一问答案给的是（5√2-7√3）/18啊

Answer 1

1、AC/AB=cosB/cosC,
根据正弦定理，
AC/AB=sinB/sinC,
cosB/cosC=sinB/sinC,
sinB/cosB=sinC/cosC,
tanB=tanC,
∵0<B<π,0<C<π,
∴B=C。
2、cosA=-1/3，
三角形是等腰三角形，作BC边上的高AD，
A/2是锐角，
cosA/2=√[（1+cosA)/2]=√3/3，
cosA/2=AD/AB=sinB=√3/3,
B是锐角，
sinB=√3/3，
cosB=√[1-(sinB)^2]=√6/3,
因cosA<0，A是钝角，B+C<π/2，2B<π/2，
sin2B=2sinBcosB=2√2/3，
cos2B=√[1-(sin2B)^2]=1/3,
sin4B=2sin2Bcos2B=2*(2√2/3)*(1/3)=4√2/9,
由sin2B=2√2/3可得，
π/4<2B<π/2，
π/2<4B<π，
4B为钝角，
cos4B=-√[1-(sin4B)^2]=-7/9,
sin(4B+π/3）=sin(4B)*cos(π/3)+sin(π/3)*cos(4B)
=(4√2/9)*(1/2)+(√3/2)*(-7/9)
=(4√2-7√3)/18.

Answer 2

1，根据正弦定理可得，cosB/cosC=sinB/sinC, 所以，交叉相乘相减可得，（利用两角差的正弦公式） sin(B-C)=0 ,,在0~π内只能B=C
2. 因为4B=2(B+C)=2(π-A)=2π-2A sin(4B+ 1/3π)=sin(2π-2A + 1/3π)=sin(2A-1/3π)，（利用两角差的正弦公式），只需要计算出sin2A cos2A
cosA=-1/3 可得sinA= 2√2/3, 利用二倍∠公式就可以得出，sin2A 和cos2A, 带入即得到结果为(4√2-7√3)/18.