为什么有极限的数列一定有界呢?
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你是要证明吗？回忆极限定义，任取ε>0，存在N>0，当n>N时，有|xn-a|<ε
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }
则我们会发现，所有的 |xn|<M，
（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）
有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|
取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }
则我们会发现，所有的 |xn|<M，
（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| }，因此M比数列中前N个数的绝对值都要大，当n>N后，所有的 |xn| 均小于1+|a|≤M）
因此{xn}有界。
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