Question

设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3,求数列...

设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3,求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn.

Answer 1

设{A(n)}的通项公式为：A(n)=2+d(n-1)
{B(n)}的通项公式为：B(n)=2×q^(n-1)
则{A(n)}的前n项和为：S(n)=[A(1)+A(n)]n/2=[4+d(n-1)]n/2
依题意得：[4+d(2-1)]×2/2=5×2×q^(2-1)
[4+d(4-1)]×4/2=25×2×q^(3-1) 解得：d1=4 q1=4/5 d2=0 q2=2/5（舍去）
所以S(n)=[4+d(n-1)]n/2=2n^2
B(n)=2×(2/5)^(n-1)
所以C(n)=S(n)×B(n)
=(2n^2)[2×(2/5)^(n-1))
=4×n^2×(2/5)^(n-1)
另C(n)对n求导：
C(n)=4×2n×(2/5)^(n-1)+4×n^2×(2/5)^(n-1)×ln(2/5)
=4n[2+n×ln(2/5)]×(2/5)^(n-1)
另C(n)=0，则n=0或a（由试根法求得2<a<3)
所以C(n)的最大值只有可能是C(1),C(2)或C(3)
C(1)=4×1^2×(2/5)^(1-1)=4
C(2)=4×2^2×(2/5)^(2-1)=6.4
C(3)=4×3^2×(2/5)^(3-1)=5.76
显然C(n)的最大值为C(2)=6.4

Answer 2

解：设公差为d,公比为q可得：
S2=5b2 可得：a1+a1+d=5b1q 即：4+d=10q............................1
S4=25b3 可得：4a1+6d=25b1q^2 即：4+3d=25q^2.............2
联立1、2两式解得：
q=2/5 或 q=4/5
因：d≠0 即： 所以可得：q=4/5, d=4
所以：an=a1+(n-1)d=2+4n-4=4n-2
bn=b1q^(n-1)=2x(4/5)^(n-1)

Answer 3

S4/S2为一个常数，所以25b3/5b2=5b3/b2为一个常数，所以bn是一个等比数列
S2=2a1+d=4+d=5*b1*q=10q
S4=4a1+6d=8+6d=25*b1*q^2=50q^2解得q1=2/5,q2=4/5，因为an不是公差为零的等差数列，所以q1=2/5不符合题意舍去，所以q=4/5,d=4
an=2+(n-1)4=4n-2
bn=2*(4/5)^(n-1)

Answer 4

an= a1+(n-1)d ( d = common difference)
Sn = n[2a1+(n-1)d] /2
= n(4+(n-1)d)/2
bn = b1. r^(n-1) ( r = common ratio )
= 2 .r^(n-1)

S2= 5b2
4+d= 2r (1)
S4=25b3
2(4+3d) = 2r^2 (2)
6(1) -(2)
4= 12r - 2r^2
r^2-6r-2 =0
r = 3+√10 or 3-√10
when r = 3+√10 , d = 2+2√10
when r= 3-√10, d= 2-2√10

Answer 5

设{A(n)}的通项公式为：A(n)=2+d(n-1)
{B(n)}的通项公式为：B(n)=2×q^(n-1)
则{A(n)}的前n项和为：S(n)=[A(1)+A(n)]n/2=[4+d(n-1)]n/2
依题意得：[4+d(2-1)]×2/2=5×2×q^(2-1)
[4+d(4-1)]×4/2=25×2×q^(3-1) 解得：d1=4 q1=4/5 d2=0 q2=2/5（舍去）
所以S(n)=[4+d(n-1)]n/2=2n^2
B(n)=2×(2/5)^(n-1)
所以C(n)=S(n)×B(n)
=(2n^2)[2×(2/5)^(n-1))
=4×n^2×(2/5)^(n-1)

Answer 6

可以算出q=4/25或q=1，d=-（12/5)或d=6.通项式自己列