Question

设a为实数,函数f(x)=x^3-x^2-x+a.当a在什么范围内取值时,曲线f(x)与x轴仅有一个交点.

Answer 1

首先需确定原函数f(x)=x^3-x^2-x+a有两个拐点,,负无穷到第一个拐点和第二个拐点到无穷大为增函数,第一个拐点到第二个拐点为减函数,则f`(x)=3x^2-2x^-1,令f`(x)=3x^2-2x^-1=0,则得到原函数的两个拐点x1=-1/3,x2=1.
f(1)=-1+a,f(-1/3)=5/27 +a.
曲线f(x)与x轴仅有一个交点,则需在第一个拐点值小于0或第二个拐点值大于0.
-1+a>0,a>1;5/27 +a<0,a<-5/27,所以有a>1或a<-5/27.

Answer 2

解：f'(x)=3x²-2x-1
令f'(x)=0得：
x=1或x=-1/3
要使曲线f(x)与x轴仅有一个交点
只需：f(1)=1-1-1+a>0
或f(-1/3)=-1/27-1/9+1/3+a<0
解得：a>1或a<-5/27