Question

已知不等式的解集为,不等式的解集为. 若不等式的解集,求实数的取值范围______

已知关于x的不等式 ，(k>0) (1)若不等式的解集为 ，求实数k的值； (2)若不等式对一切2<x<3都成立，求实数k的取值范围； (3)若不等式的解集为集合 的子集，求实数k的取值范围．____

Answer 1

【分析】 (1)不等式解集区间的端点就是相应方程的根，所以方程kx 2 -2x+6k=0的两根分别为2和3，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得实数k的值； (2)原命题等价于函数y=kx 2 -2x+6k的最大值小于0，从而得出 ，解之可得实数k的取值范围是(0， ]； (3)原命题题等价于不等式组：Δ≤0或 ，先解Δ≤0，结合k>0得k≥ ，再对照 的解集，可得符合条件的k的取值范围． (1)由已知得，2和3是相应方程kx 2 -2x+6k=0的两根且k>0， ∴ ，解得k= ； (2)令f(x)=kx 2 -2x+6k， 原问题等价于 解得k≤ . 又k>0 ∴实数k的取值范围是(0， ]； (3)对应方程的Δ=4-24k 2 ， 令f(x)=kx 2 -2x+6k， 则原问题等价于Δ≤0或 由Δ≤0解得k≤- 或k≥ ， 又k>0，∴k≥ 由 解得 ≤k≤ 综上，符合条件的k的取值范围是[ ，+∞). 【点评】 本题考查了一元二次方程根与一元二次不等式的关系，属于中档题．解题时应该注意求解过程中的分类讨论思想与数形结思想的运用．