Question

实数a 、 b 、 c ， 若a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2 求 ab+bc+ac的最小值

Answer 1

∵a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2
∴2b²=1∴b²=1/2∴b=√1/2或b=-√1/2
∵2a²=1/2∴a²=1/2∴a=√1/2或a=-√1/2
∵2c²=3∴c²=3/2∴c=√3/2或c=-√3/2
当a、b、c符号相同时：
ab+bc+ac=√1/2*√1/2+√3/2*√1/2+√3/2*√1/2=1/2+1/2*√3+1/2*√3=1/2+√3
当a、b、c符号不同时：
若a＜0，b＞0，c＞0则ab+bc+ac==（-√1/2）*√1/2+√3/2*√1/2+√3/2*（-√1/2）=-1/2+1/2*√3/-1/2*√3=-1/2
若a＜0，b＜0，c＞0则ab+bc+ac==（-√1/2）*（-√1/2）+√3/2（-√1/2）+√3/2*（-√1/2）=1/2-1/2*√3-1/2*√3=1/2-√3
若a＞0，b＞0，c＜0则ab+bc+ac==（√1/2）*（√1/2）+（-√3/2）（√1/2）+（-√3/2）*（√1/2）=1/2-1/2*√3-1/2*√3=1/2-√3

Answer 2

a²+b²=1 、 b²+c²=2、 a²+c²=2
相加得：
2a²+2b²+2c²=5
2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ac-2ab-2bc-2ac=5
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²+2(a+b+c)=5
∴ab+bc+ac的最小值等于2.5

Answer 3

(a+b)²≥0 对吧
然后 a²+b²+2ab≥0 → 2ab≥ -（a²+b²）

所以，

ab≥-1/2
bc≥-1
ac≥-1

取最小值即 ab+bc+ac的最小值为-1/2-1-1=-5/2即-2.5

Answer 4

(a+b+b)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1/2(a^2+b^2+b^2+c^2+d^2)+2(ab+bc+ac)=5/2+2(ab+bc+ac)>=0
ab+bc+ca>=-5/4
-5/4