Question

已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证

（1）a²+b²+c²≥1/3 （2）根号a+根号b+根号c≤根号3

Answer 1

证明：（1）（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
=1
又因为
（2）a^2+b^2>=2ab
（3）
a^2+c^2>=2ac
（4）b^2+c^2>=2bc
把五个式子的左边加起来
3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc
>=1+2ab+2ac+2bc
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
(2)根a+根b+根c<=根3
两边平方得到：根ab+根bc+根ca<=1
a+b+c=1
那么2a+2b+2c=2
2=2a+2b+2c>=2根ab+2根bc+2根ca
所以根ab+根bc+根ca<=1
证毕！

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
因为(a-b)^2>=0于是2ab<=a^2+b^2（或者用均值不等式也是一样的结论）
类似的有2bc<=b^2+c^2
2ac<=a^2+c^2
于是(a+b+c)^2<=3a^2+3b^2+3c^2
所以3a^2+3b^2+3c^2>=1
a²+b²+c²≥1/3
（根号a+根号b+根号c）^2
=
a+b+c+2根号ab+2根号bc+2根号ac
（根号a-根号b）^2>=0于是有
2根号ab<=a+b
类似的有
2根号bc<=c+b
2根号ac<=a+c
（根号a+根号b+根号c）^2
<=
3a+3b+3c=3
于是根号a+根号b+根号c≤根号3
（符号<=表示小于等于，>=表示大于等于）
写的稍微有点乱，不过应该能看懂，望采纳～～～