Question

设f（x，y）为连续函数，且f（x，y）=f（y，x），求证∫0~1 dxf0~x f(x,y)dy=∫0~1 dx∫o~xf(1-x,1-y)dy

Answer 1

∫(0,1)dx∫(0,1)f(x)f(y)dy

= ∫(0,1)dxf(x)∫(0,1)f(y)dx 因为后bai面是关于y积分，f(x)与y无关，可以提出来。

=∫(0,1)3*f(x)dx 后面积zhi分是3，常数

=3∫(0,1)f(x)dx 3是常数与x无关，可以提出来。

=3*3

=9

注意：∫(0~1) f(x)dx是一个常数。

设a=∫(0~1) f(x)dx

则f(x)=x²+2a

两边在[0,1]积分得：

a=∫(0~1) f(x)dx=∫(0~1) (x²+2a)dx

=1/3x³+2ax (0~1)

=1/3+2a

则，a=1/3+2a，解得a=-1/3

因此f(x)=x²-2/3

扩展资料：

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

参考资料来源：百度百科-连续函数