Question

不计算积分，比较下列定积分的大小？

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

用数形结合思想，结合定积分的几何意义，试图讲清楚本题。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

Answer 3

积分区间相同的情况下，只需比较两个函数值的大小即可。

（4）当1<=x<=e时，lnx<1，所以lnx>(lnx)^2，所以前者在区间[1, e]上的积分值大于后者
（5）当x=0时，x=ln(x+1)=0。因为x'=1，(ln(x+1))'=1/(x+1)，所以当0<=x<=1时，x'>=(ln(x+1))'，所以x>=ln(x+1)。因此，前者在区间[0, 1]上的积分值大于后者
（6）当x=0时，e^x-1=x=0。因为(e^x-1)'=e^x，x'=1，所以当0<=x<=1时，(e^x-1)'>=x'，所以e^x-1>=x。因此，前者在区间[0, 1]上的积分值大于后者

Answer 4

解答如下

Answer 5

分享解法如下。(4)小题，x∈[1,e]，∴lnx∈[0,1]。∴lnx≥ln²x。∴∫(1,e)lnxdx>∫(1,e)ln²xdx。
(5)小题，x>0时，利用e^x=1+x+x²/2+…，∴e^x>1+x。x>ln(1+x)。∴∫(0,1)xdx> ∫(0,1)ln(1+x)dx。
(6)小题，仿(5)小题，x>0时，利用e^x=1+x+x²/2+…，∴(e^x)-1>x。∴∫(0,1)[(e^x)-1]dx> ∫(0,1)xdx。