Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

（1）tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；

（2）试求：由始至终线段EF的中点H所经过的路线长

Answer 1

tan∠PEF=0.5 不会变化
EF的中点H所经过的路线=1/2的PC长
解法：过P做OP垂直于BC，并过△POF作圆。
∵AB∥OP ∴∠AEP=∠EPO
又∵△POF为直角三角形∴PF为圆的直径
又∵PE⊥PF∴PE为圆POF的切线
∴切线角∠EPO=∠PFO
∴直角△AEP∽直角△POF
∴AP/EP=OP/PF=AB/PF
∴tan∠PEF=EP/PF=AP/AB=1/2

Answer 2

：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
AP=1，CD=AB=2，则PB=√ 5 ，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴AP CD =PB PC 即 1 2 =√ 5 PC ，
∴PC=2√ 5 ；
（2）①tan∠PEF的值不变．
理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，
则四边形ABFG是矩形，
∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
∴∠AEP+∠APE=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°，
∴∠AEP=∠GPF，
∴△APE∽△GPF，
∴PF PE =GF AP =2 1 =2，
∴Rt△EPF中，tan∠PEF=PF PE =2，
∴tan∠PEF的值不变；

②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，
∵OP=OB=1 2 EF，
∴O点在线段BP的垂直平分线上，
∴线段EF的中点经过的路线长为BP=√ AB2+AP2 = √5 ．

Answer 3

三角形APB相似于三角形PBC,故AP:AB=BP:PC，由勾股定理有BP=√5，AP=1，AB=2,故PC=2√5.
探究的那问正在做，稍后给你答案

Answer 4

(1).三角形相似定理:APB与PBC相似,按这个顺序比,BP可以求出.
(2).当把变化之后的图画出来后可以发现此时左下角有一个和图2全等的三角形,所以根据三角形的全等与相似定理,可得值是不变的,
(3)PH所经过的路线长为,以P为圆心,PH为半径画圆,走过APB的角度,对应的圆弧.