Question

等差数列中，若Sm=Sn(m≠n),则S(m+n)=______. 求解释！

Answer 1

Sm=ma1＋(1/2)m(m－1)d
Sn=na1＋(1/2)n(n－1)d
两式相减，得：
(m－n)a1＋(1/2)d×[m(m－1)－n(n－1)]
(m－n)a1＋(1/2)d×[(m²－n²)－(m－n)]=0 【两边除以m－n】
a1＋(1/2)[m＋n－1]d=0
则：S(m＋n)=(m＋n)a1＋(1/2)[(m＋n)]×[(m＋n)－1]d
=(m＋n)[a1＋(1/2)(m＋n－1)d]
=0
则：S(m＋n)=0

追问

有没有简单一点的方法？

追答

1、从代数的角度，这个题目本身就是这么解答的。
2、你还可以结合Sn是关于n的二次函数，结合二次函数图像来研究。

Answer 2

Sm=ma1+m(m-1)d/2
Sn=na1+n(n-1)d/2
Sm=Sn
ma1+m(m-1)d/2=na1+n(n-1)d/2
(m-n)a1+[m(m-1)-n(n-1)]*d/2=0
(m-n)a1+(m-n)(m+n-1)*d/2=0
a1+(m+n-1)*d/2=0
Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d/2
=(m+n)[a1+(m+n-1)*d/2]=0
S(m+n)=__0____.