Question

已知斜三角形ABC的三个内角A、B、C.有命题P:若A+B+C=π,则tanA+tanB+tanC=tanAtan

1.已知斜三角形ABC的三个内角A、B、C.有命题P:若A+B+C=π,则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.判定命题P是否为真命题。并说明理由
2.命题P的逆命题Q是否为真命题，并说明理由

Answer 1

1A+B+C=π 故tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB/1-tanAtaCnB）
则tanA+tanB=（tanBtanC-1）tanC可推得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
2tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得tanA+tanB=（tanBtanC-1）得tanC=-tan(A+B)可得A+B+C=kπ 又A、B、C为斜三角形ABC的三个内角故A+B+C=π命题P的逆命题Q是真命题

Answer 2

命题P是真命题
∵A+B+C=π,斜三角形A、B、C均不是直角
∴A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
2
命题P的逆命题Q：
已知斜三角形ABC的三个内角A、B、C中（前提条件）
若tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
则A+B+C=π
逆命题Q是真命题
证明：
∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
∴tanA+tanB=tanAtanBtanC-tanC
∴tanA+tanB=-（1-tanAtanB）tanC
∵ABC是斜三角形
∴1-tanAtanB≠0
∴(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
∴tan(A+B)=tan(π-C)
∵0<A+B<π,0<π-C<π
∴A+B=π-C
∴A+B+C=π

Answer 3

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