Question

怎样求双曲线的离心率和焦距？

Answer 1

以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。

分支

可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。

焦点

在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

准线

在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。

离心率

在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

离心率

双曲线有两个焦点，两条准线。(注意:尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线,但是给定同侧的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。)

顶点

双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。

实轴

两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。

虚轴

在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.

渐近线

双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

 

渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：

 

,将1替换为0,得,则双曲线的渐近线为

一般地我们把直线

 

叫做双曲线(焦点在X轴上)的渐近线(asymptote to the hyperbola )

焦点在y轴上的双曲线的渐近线为

顶点连线斜率

 

双曲线 y

 

上一点与两顶点连线的斜率之积为。

实际应用

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双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。

面积公式

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若 ∠F1PF2=θ，

则 S△F1PF2=b2×cot

 

或S△F1PF2=

·例：已知F1、F2为双曲线C：x2－y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多

少？

解：由双曲线焦点三角形面积公式得:

S△F1PF2=b2×cot(

 

)=