Question

设函数f(x)·g(x)在区间(a,b)内单调递增，证明函数P(x)=max{f(x),g(x)}与F(x)=min{f(x),g(x)}也在（a,b)递

请详细点~~ 不要复制的自己解答哈~~~

Answer 1

上面的f(x)·g(x)应当是f(x)和g(x)的意思吧
如果是f(x)*g(x)的意思的话，显然有反例f(x)=x^2,g(x)=1/x,a=1,b=2,
与命题矛盾了。
下面按照“f(x)和g(x)”的意思进行证明：
由条件有，设任意x1,x2在区间内，且x1<x2,
f(x1)<f(x2),g(x1)<g(x2)
P(x1)=max{f(x1),g(x1)},P(x2)=max{f(x2),g(x2)}
1, f(x1)>g(x1),f(x2)>g(x2)，则P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)
显然有P(x1)<P(x2),得到P(x)增；
2， f(x1)>g(x1),f(x2)<g(x2)，则P(x1)=f(x1),P(x2)=g(x2)
因为f(x1)<f(x2)<g(x2),故有P(x1)<P(x2),得到P(x)增；
3， f(x1)<g(x1),f(x2)>g(x2)，则P(x1)=g(x1),P(x2)=f(x2)
因为g(x1)<g(x2)<f(x2),故有P(x1)<P(x2),得到P(x)增；
4, f(x1)<g(x1),f(x2)<g(x2)，则P(x1)=g(x1),P(x2)=g(x2)
显然有P(x1)<P(x2),得到P(x)增.
综合，得到P(x)单调增。
证明F(x)单调增同理可以证明，此处不在赘述。
希望对你有所帮助。

追问

不是的 是相乘的意思 只是假设有这样一个函数f(x)·g(x)在区间(a,b)内单调递增，不需要对全部的函数都递增

追答

如果是相乘，我举了反例了：
f(x)=x^2,g(x)=1/x,a=1,b=2,
代入试试看，f(x)*g(x)=x
与命题矛盾了。

Answer 2

函数f(x)·g(x)在区间(a,b)内单调递增，那么函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内都单调递增或都单调递减，画图之后很容易得到函数P(x)=max{f(x),g(x)}与F(x)=min{f(x),g(x)}也在（a,b)递增。不画图的话可以假设在(a,c)上f(x)<g(x)，在(c,b)上f(x)>g(x)，然后按照函数单调性的定义证明，不过比较麻烦，还是比较喜欢用图像法解决，希望对你有帮助

Answer 3

分三种情况讨论：为了方便说明，我把MAX设为hx,MIN设为jx,括号就不打了哈。
1，f(x),g(x)没有交点，不妨设f(x)>g(x),显然h(x)max=f(x),h(x)min=F(x)=g(x),结论显然。
2，只有两个个交点不妨设为A（x1,y1)B（x2,y2)，在A点之前不妨设f(x)>g(x)，不难验证在整个区间内单调递增（即利用函数单调的性质来与A，B点函数值作比较，从略在A,B区间内f(x)<g(x),B到正无穷f(x>g(x),当然此处排除了，在一个区间内f(x)=g(x)的情况了
3，n个交点的情况，不妨设为A1，A2......An.可以有区间[A1，A2].......[An-1,An],分别在区间内运用2，不妨先证明在【Ai-1,Ai]和[Ai,Ai 1]这两个相邻区间上递增，hx和jx在第二个区间都大于在Ai的函数值，而都在第一个区间都小于Ai的函数值，同理在[A1,An】则为单调递增，此时我们运用2，易得出结论。当然如果是在某区间内重合，那么在重合区间内单调性不难验证了或者在2中将大于改为大于等于也许更有说服力。