Question

.已知f(x)=xlnx，g(x)=x/(e^x)-2/e。（1）求函数f（x)在区间[1,3]上的最小值。

已知f(x)=xlnx，g(x)=x/(e^x)-2/e。。（1）求函数f（x)在区间[1,3]上的最小值（2）求证对任意m、n∈(0，+∞)，都有f(m)≥g(n)成立

Answer 1

解：（1）f`（x）=1+lnx 在 x∈(1，+∞)，所以f`（x)是正数恒成立。 所以f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。最小值为 f（1)=1+ln1=1
(2) 分析：对任意m、n∈(0，+∞)，都有f(m)≥g(n)成立 ，所以在m、n∈(0，+∞)，f(x)的最小值≥g(x)的最大值。
证明：由（1）知，f`（x）=1+lnx ，当x=1/e时，有最小值f(1/e)=-1/e，
即当m∈(0，+∞)时，恒有f(m)≥-1/e
同理 ：g`（x）=(e^x-xe^x)/(e^x)^2=(1-x)/e^x
当x=1时, g(x) 有最大值g(1)=-1/e，
即当n∈(0，+∞)时，恒有 -1/e≥g(n)
所以 对任意m、n∈(0，+∞)，都有f(m)≥g(n)成立。

Answer 2

（1）f‘（x）=1+lnx x∈(0，+∞)，所以f'（x)是正数很成立。 所以f(x)是增函数。最小值f（1)
=1+ln1=1
(2) 对任意m、n∈(0，+∞)，都有f(m)≥g(n)成立 所以在m、n∈(0，+∞)，xlnx≥x/(e^x)-2/e 恒成立，h(x)=xlnx-x/(e^x)-2/e h(x)≥0恒成立。................后边的自己解，多给点分

Answer 3

（1）将f(x)=xlnx求导，求出它的单调性，再在区间[1,3]上取的最小值
（2）将“对任意m、n∈(0，+∞)，都有f(m)≥g(n)成立”转化，f(m)的最小值≥g(n)的最大值，当然也要求他们的单调性

追问

可以写下第二问的过程么？

追答

额。。。。你不会求导？只要求导，分别求出f(x)=xlnx，g(x)=x/(e^x)-2/e的导数，然后判断它们的单调性，然后根据他们的区间(0，+∞)，求出f(x)的最大值和g(x)的最小值