Question

如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像 与x轴交于点A(6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C(0,2√3);⊙P经过A、B、C三点

1、求二次函数的表达式
2、求圆心P的坐标
3、二次函数在第一象限内的图像上是否存在点Q，使得以P、Q、A、B四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出Q点的坐标并证明所说的四边形是平行四边形；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：1，依题意设y=a(x-2)（x-6),把C（0, 2根3）代入，得，y=根3/6x²-4倍根3/3x+2倍根3.， 2，因为⊙P经过A,B,C三点，AB=4，BC=4，所以弦AB,弦BC的弦心距相等，过P作AB，BC的弦心距PE,PF，交AB于E，交BC于F，则PE所在的直线与抛物线的对称轴重合。 在Rt△BOC中，角OBC=60°，∠ABC=120°，PE=PF，所以∠PBE=60°，在Rt△PBE中PE=2倍根3，所以 P（2 ,2倍根3）。 3，因为若四边形PQAB是平行四边形，其对角线应互相平分，若以PQ,AB为对角线 组成四边形，只需EQ=2倍根3，即Q(2,-2倍根3），由于抛物线的顶点坐标为 (2, -2倍根3/3）。所以存在Q点使四边形PAQB为平行四边形。Q(2，-2倍根3/3）。此时AE=BE, PE=QE（两条对角线互相平分）所以四边形PAQB是平行四边形。