Question

椭圆的准线方程如何推导

椭圆的准线方程是±a∧2／c 请问如何用代数方法推导？最好不要用参数方程。如果要用请详细说明或给一个确切的网址。急！十分感谢！！

Answer 1

对于椭圆标准方程（焦点在X轴）　x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c　a为半长轴　b为半短轴　c为焦距的一半)，对应的准线方程

x=a^2/c(焦点（c，0）)

x=-a^2/c(焦点（-c,o))

设准线为x=f

则A到准线的距离L为│f-x│

设AF1/L=e则

(x-c)²+y²=e²（f-x)²

化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0

令2c=2e²f

则f=c/e²

令该点为右顶点则(c/e²-a)e=a-c

当e=c/a时上式成立

故f=a²/c

则方程为(1-e²)x²+y²=e²f²-c²

椭圆简介

在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。

椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。

Answer 2

设A(x,y)为椭圆上一点则AF1=√[(x-c)²+y²]设准线为x=f则A到准线的距离L为│f-x│设AF1/L=e则(x-c)²+y²=e²（f-x)²化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0。

椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处。

椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

Answer 3

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点为F1（c，0），F2（-c，0)（c>0)
设A(x,y)为椭圆上一点
则AF1=√[(x-c)²+y²]
设准线为x=f
则A到准线的距离L为│f-x│
设AF1/L=e则
(x-c)²+y²=e²（f-x)²
化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0
令2c=2e²f
则f=c/e²
令该点为右顶点则(c/e²-a)e=a-c
当e=c/a时上式成立
故f=a²/c
则方程为(1-e²)x²+y²=e²f²-c²
与原椭圆方程对比则
a²=(e²f²-c²)/(1-e²),b²=e²f²-c²
a²=(c²/e²-c²)/(1-e²),b²=c²/e²-c²
a²-b²=(c²/e²-c²)e²/(1-e²)=c²

Answer 4

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,焦点为F1（c，0），F2（-c，0)（c>0)
设A(x,y)为椭圆上一点
则AF1=√[(x-c)²+y²]
设准线为x=f
则A到准线的距离L为│f-x│
设AF1/L=e则
(x-c)²+y²=e²（f-x)²
化简得(1-e²)x²-2xc+c²+y²-e²f²+2e²fx=0
令2c=2e²f
则f=c/e²
令该点为右顶点则(c/e²-a)e=a-c
当e=c/a时上式成立
故f=a²/c
则方程为(1-e²)x²+y²=e²f²-c²
与原椭圆方程对比则
a²=(e²f²-c²)/(1-e²),b²=e²f²-c²
a²=(c²/e²-c²)/(1-e²),b²=c²/e²-c²
a²-b²=(c²/e²-c²)e²/(1-e²)=c²

Answer 5