Question

3次函数是否一定有实数根。

最近老师给了一个问题：x^3-15x-4=0。老师说这个方程没有实数根
可是老师不肯给我们解答，要我们自己去想，结果我思索很久还是没思路。
想请各位大哥大姐帮忙解答一下，谢谢了
我觉得3此函数一定有实数根，因为根据零点判别公式，只要有f（x1）*f（x2）<0就一定有零点。。。。。。

Answer 1

对，三次函数一定有实数根。x=4即为此方程的一个根。
因为：方程可化为：
x^3-64-15x+60=0
(x-4)(x^2+4x+16)- 15(x-4)=0
(x-4)[(x^2+4x+16)- 15]=0
(x-4)(x^2+4x+1)=0
所以：x=4 x=-2±√3

追问

感激涕零啊，我咋就想不到咧
还有，问一下，这个三次函数一定有实数根用不用证明啊

追答

可以证明，可由连续函数的根的存在性定理证明。
方法就是你自己写的，我就不细说了，我只说基本思路：
因为三次函数是连续函数，且当x→＋∞和x→－∞时，其函数值一个→+∞，而另一个→－∞；
所以必存在两点：x1,x2.可使：f(x1)×f(x2)<0
即在x1,x2处函数值异号，则由根的存在性定理：必存在：ξ∈（x1,x2）使：
f(ξ)=0.

Answer 2

不一定哦

追问

……能给个解释吗？

Answer 3

不知道你有没有学实系数多项式方程呢？
学了就会知道，3次函数至少有一个实根