Question

若椭圆x^2+my^2=m(m>1)与双曲线x^2-ny^2=n有相同的焦点F2 F2 点p是两曲线的一个交点 则角F1PF2为？

答案是90度 为什么啊？？？

Answer 1

椭圆x^2/m+y^2=1
(OF2)^2=m-1

双曲线x^2/n-y^2=1
(OF2)^2=n+1

m-1=n+1
m=n+2

x^2/m+y^2=1
x^2/n-y^2=1
解得x^2=2mn/(m+n)
y^2=(m-n)/(m+n)

OP^2=x^2+y^2=n+1
这说明两曲线的一个交点p到原点的距离等于OF2
所以F1F2是过三角形PF1F2的外接圆的直径
所以角F1PF2=90度

解毕

Answer 2

解：在椭圆中c²＝a²－b²＝m－1
在双曲线中c²＝a²＋b²＝n＋1
∵焦点相同
∴m－1＝n＋1
∵p是它们的公共点
∴在椭圆中有 PF1＋PF2＝2a＝2√m
∴两平方 PF1²＋PF2²＋2PF1PF2＝4m ①
在双曲线中有 PF1－PF2＝2a＝2√n
∴ PF1²＋PF2²－2PF1PF2＝4n ②
∴①＋②：2﹙ PF1²＋PF2²﹚＝4﹙m＋n﹚
∴ PF1²＋PF2²＝2﹙m＋n﹚

又∵c²＝m－1，c²＝n＋1
∴4c²＝2c²＋2c²
＝2﹙m－1﹚＋2﹙n＋1﹚
＝2﹙m＋n﹚
∴PF1²＋PF2²＝2﹙m＋n﹚＝4c²
∴△F1PF2为直角三角形
∴∠F1PF2＝90°