2011年甘肃省兰州市中考数学第28题解答全一点的
展开全部
28、(2011•兰州)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D .
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取 时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
考点:二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;平行四边形的性质。
专题:计算题。
分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;(2)①由勾股定理即可求出,②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为三种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标.(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.
解答:(1)解:设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
当x=0时,y=﹣2,
∴点A的坐标是(0,﹣2),
∵正方形的边长2,
∴B的坐标(2,﹣2),把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣ )代入得:
且 ,
解得a= ,b=﹣ ,c=﹣2
∴抛物线的解析式为: ,
答:抛物线的解析式为: .
(2)解:①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=(2﹣2t)2+t2,
即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1).
答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1.
②解:假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1),
∴当S= 时,5t2﹣8t+4= ,得20t2﹣32t+11=0,
解得t= ,t= (不合题意,舍去),
此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣ )
若R点存在,分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣ ,
即R(3,﹣ ),
代入 ,左右两边相等,
∴这时存在R(3,﹣ )满足题意;
【B】假设R在BQ的左边,这时PR=QB,PR∥QB,
则:R的横坐标为1,纵坐标为﹣ ,
即(1,﹣ ),
代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上;
【C】假设R在PB的下方,这时PR=QB,PR∥QB,则:R(1,﹣ )代入,
左右不相等,
∴R不在抛物线上.(1分)
综上所述,存点一点R(3,﹣ )满足题意.
答:存在,R点的坐标是(3,﹣ ).
(3)解:如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得: ,
解得:k= ,b=﹣ ,
∴y= x﹣ ,
抛物线 的对称轴是x=1,
把x=1代入得:y=﹣
∴M的坐标为(1,﹣ );
答:M的坐标为(1,﹣ ).
点评:本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,勾股定理,平行四边形的性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题综合性强,是一道难度较大的题目.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2)
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取 时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
考点:二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;平行四边形的性质。
专题:计算题。
分析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;(2)①由勾股定理即可求出,②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为三种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标.(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.
解答:(1)解:设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
当x=0时,y=﹣2,
∴点A的坐标是(0,﹣2),
∵正方形的边长2,
∴B的坐标(2,﹣2),把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣ )代入得:
且 ,
解得a= ,b=﹣ ,c=﹣2
∴抛物线的解析式为: ,
答:抛物线的解析式为: .
(2)解:①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=(2﹣2t)2+t2,
即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1).
答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1.
②解:假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1),
∴当S= 时,5t2﹣8t+4= ,得20t2﹣32t+11=0,
解得t= ,t= (不合题意,舍去),
此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣ )
若R点存在,分情况讨论:
【A】假设R在BQ的右边,这时QR=PB,RQ∥PB,则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣ ,
即R(3,﹣ ),
代入 ,左右两边相等,
∴这时存在R(3,﹣ )满足题意;
【B】假设R在BQ的左边,这时PR=QB,PR∥QB,
则:R的横坐标为1,纵坐标为﹣ ,
即(1,﹣ ),
代入 ,左右两边不相等,R不在抛物线上;
【C】假设R在PB的下方,这时PR=QB,PR∥QB,则:R(1,﹣ )代入,
左右不相等,
∴R不在抛物线上.(1分)
综上所述,存点一点R(3,﹣ )满足题意.
答:存在,R点的坐标是(3,﹣ ).
(3)解:如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得: ,
解得:k= ,b=﹣ ,
∴y= x﹣ ,
抛物线 的对称轴是x=1,
把x=1代入得:y=﹣
∴M的坐标为(1,﹣ );
答:M的坐标为(1,﹣ ).
点评:本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,勾股定理,平行四边形的性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题综合性强,是一道难度较大的题目.
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询