Question

如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作直线EF,分别交BC、AD于点E、F。

（1）求证：BE=DF。
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出点E的位置，并说明理由。

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠FAC=∠BCA，∠AFE=∠CEF，
又∵AO=CO，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD-AF=BC-BE，
即BE=DF．

（2）答：当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，
同理，△ABO与△BOC的面积相等，△AOD与△COD的面积相等，
从而易知所分成的四个三角形面积相等．

Answer 2

（1）∵AD∥BC，
∴∠FAC=∠BCA，∠AFE=∠CEF，
又∵AO=CO，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD-AF=BC-BE，
即BE=DF．

（2）答：当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，
同理，△ABO与△BOC的面积相等，△AOD与△COD的面积相等，
从而易知所分成的四个三角形面积相等．

Answer 3

(1)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD平行BC，角FAO=角ECO，
又因为O是对角线AC的中点，
所以OA=OC,
又因为角AOF=角COE，
所以三角形AOF全等于三角形COE，
所以AF=CE，
因为AD=BC，所以AD-AF=BC-BC
即DF=BE
(2)如果AC,EF将ABCD分成的4部分面积相等则有:
COE的面积=OEBA的面积,即COE面积为ABC面积的一半,如果O到BC的距离为h的话,则A到BC的距离为2h.则推出BC等于CE,即E与B点重合!

Answer 4

解：（1）∵O为AC中点
∴AO=CO
∵ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∴∠FAC=∠ACB
在△AOF和△COE中，
∠FAC=∠ACB
AO=CO
∠AOF=∠COE
∴△AOF=△COE
∴AF=CE
∵AD=BC
∴AD-AF=BC-CE
∴BE=DF