Question

已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2），(x>0)，数列an满足a1=f(x)，a(n+1)=f(an)

已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2），(x>0)，数列an满足a1=f(x)，a(n+1)=f(an)
(1) 求a2 ，a3 ，a4
（2）猜想数列an的通项公式，并证明你的猜想

Answer 1

1、
a1=f(x)=x/√(1+x²)
a2=f(a1)=[x/√(1+x²)]/√[1+x²/(1+x²)]=[x/√(1+x²)]/[√(2x²+1)/√(1+x²)]=x/√(2x²+1)
a3=f(a2)=[x/√(1+2x²)]/√[1+x²/(1+2x²)]=[x/√(1+2x²)]/[√(3x²+1)/√(1+2x²)]=x/√(3x²+1)
a4=f(a3)=[x/√(1+3x²)]/√[1+x²/(1+3x²)]=[x/√(1+3x²)]/[√(4x²+1)/√(1+3x²)]=x/√(4x²+1)
2、
猜想：an=x/√(nx²+1)
证：
由(1)得，n=1时，a1=x/√(1+x²)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即ak=x/√(kx²+1)，则当n=k+1时，
a(k+1)=f(ak)=[x/√(1+kx²)]/√[1+x²/(1+kx²)]=[x/√(1+kx²)]/[√((k+1)x²+1)/√(1+kx²)]=x/√[(k+1)x²+1]，表达式同样成立。
综上，得数列{an}的通项公式为an=x/√(nx²+1)。

追问

可以再问你一个问题吗？
已知x=1是函数f(x)=ax^3-3(a+1)x^2+bx+1的一个极值点，其中a,b∈R，a<0
（1）求a与b的关系式
（2）求f(x)的单调区间
（3）当x∈闭区间-1，1时，函数y=f(x)的图像上任意一点的切线斜率恒大于3a，求a的取值范围