Question

初二一道较难的数学问题，请高人解析，谢谢。

（2006•常德）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°
∴△ABC和△DEF是等腰直角三角形。
∵AB=DE=4
∴AB=BC=DE=EF=4
当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，有△APD∽△CDQ
∴ AP：AD=CD：CQ
∴AP•CQ=AD•CD
又∵D为AC中点。
AD=CD=AC/2=(1/2)√(AB²+BC²)=(1/2)√(4²+4²)=2√2
∴AP•CQ=AD•CD=2√2×2√2=8

（2）在△APD和△CDQ中
∠A+∠APD+∠ADP=180° 45°+∠APD+∠ADP=180°
==>
∠C+∠CQD+∠CDQ=180° 45°+∠CQD+∠CDQ=180°
另外：
∠ADC=∠ADP+∠EDF+∠CDQ=180°
即：∠ADP+ 45°+∠CDQ=180°

∴∠APD=∠CDQ；∠ADP=∠CQD

∴△APD∽△CDQ
∴ AP：AD=CD：CQ
∴AP•CQ=AD•CD
由（1）可知
AD=CD=AC/2=2√2
∴AP•CQ=AD•CD=2√2×2√2=8
所以：将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，AP•CQ的值不变。

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，有
AP•CQ=8
AP•x=8
AP=8/x
另在△APD和△CDQ中，过D作AP和CQ上的高DH ，DN，恒等于h=(√2/2)AD=2
∴
当0°＜α≤45°时(图2)
y=S△ABC - S△APD - S△CDQ
=(1/2)BC•AB- (1/2)AP•h - (1/2)CQ•h
=(1/2)4•4- (1/2)(8/x)•2 - (1/2)x•2
=8- (8/x) - x

当45°＜α＜90°时(图2)
∵△PBM∽△DNM
∴MN ：BM=DN ：BP
(2-BM)/BM=2/BP
2/BM-1=2/BP
2/BM=2/BP+1
2/BM=(2+BP)/BP
BM=2BP/(2+BP)
又∵BP=AP-AB=8/x-4
BM=2BP/(2+BP)
=2(8/x-4)/(2+8/x-4)
=(8-4x)/(4-x)

∴MQ=4- (8-4x)/(4-x) -x=(4-x)²/(4-x)- (8-4x)/(4-x) =(8-4x-x²)/(4-x)
∴y=S△MQD
=(1/2)MQ•h
=(1/2)[(8-4x-x²)/(4-x)]•2
=(8-4x-x²)/(4-x)

Answer 2

(1)
AP=2， CQ=4； AP•CQ=8

(2)
角A=角C=角EDF=45°
角ADP+角CDQ=180-角EDF=135°
三角形APD中，角A+角ADP+角APD=180°，角ADP+角APD=135°
所以 角QDC=角APD
三角形CDQ中，角C+角CDQ+角CQD=180°，角CDQ+角CQD=135°
所以 角ADP=角CQD
所以△APD∽△CDQ
所以AP/CD=AD/CQ
所以AP•CQ=AD•CD=2根号2•2根号2=8

(3)AP=8/CQ=8/x

当x大于等于2, 如图2，重叠面积=△ABC-△APD-△CDQ=8-(1/2*AP*2)-(1/2*CQ*2)=8-AP-CQ
=8-8/x-x

当x小于2, 如图3，重叠面积=1/2*MQ*2=MQ
作DN垂直于BC于N
那么DN平行于AB
那么BM/MN=PB/DN
BM/(2-BM)=PB/2
BM=2PB/(2+PB)
又PB=AP-AB=8/x-4
那么BM=(8-4x)/(4-x)

重叠面积=MQ=BC-BM-CQ=4-(8-4x)/(4-x)-x