Question

可交换矩阵具有相同特征向量?求证

Answer 1

你这待证命题有问题。肯定还有其他限制条件
首先交换矩阵一定是方阵。设为n阶方阵
设AB=BA，Ax=cx，x为方阵A属于c的特征向量。
Ax=cx
等式两边右乘方阵B-> BAx=cBx
AB交换-> A(Bx)=c(Bx)
所以若x为方阵A属于c的特征向量，则Bx也为方阵A属于c的特征向量。
所以当c这个特征值只有1个特征向量时，有Bx=x，所以x为方阵B属于1的特征向量。
若当c这个特征值对应2个或2个以上特征向量时，命题性质不保证，有可能特征向量每次经过B作用后就跳到另一个身上了。

Answer 2

复数域上的可交换方阵必有公共特征向量。
设A,B可交换，则显然A的特征子空间为B的不变子空间，我们将B限制在这个特征子空间上，从而有特征向量X，他同时又是A的特征向量。
从而A,B有公共特征向量。
利用这个性质我们还可以证明此处A,B可以同时上三角化，对阶数归纳即可。