Question

设函数f(x)=lnx+a/(x-1)在(0,1/e)内有极值:(1)求实数a的取值范围；

(2)若x1∈(0,1),x2∈(1,﹢∞).求证:f(x2)-f(x1)＞e+2-1／e.
第一问已做出，看第二问吧，即求证：f(x2)-f(x1)＞e+2-(1／e.)

Answer 1

1) f’(x)={lnx+a/(x-1)}‘=1/x - a/(x-1)^2 = [x^2-(2+a)x+1] / [x(x-1)^2]
因函数f(x)=lnx+a/(x-1)在（0,1/e)内有极值 函数在该范围处处可导
所以极值点导数为零
所以导数的分子x^2-(2+a)x+1 在（0,1/e)范围有解
⊿=4a+a^2≥0 解得a≤-4,或a≥0
另外要保证解在（0,1/e) 内 由于对称轴为1+a/2 若a≤-4 将会导致无解
所以a≥0 且f(1/e)≤0 可解得a≥(e-1)^2/e 而且在（0,1)内仅有唯一解 因为对称轴在x=1右边
(2)在(0,1)时f(x)<0, 且仅有一个极值点 该极值点必为极大值 取a=(e-1)^2/e
极值点为 x1=[2+a-√(4a+a^2)] /2 =1/e 最大值为f(1/e)=-e
在（1，正无穷）f(x)>0, 由以上分析可知 在该区间也有唯一且为极小值点 取a=(e-1)^2/e
极值点为 x2=[2+a+√(4a+a^2)] /2 =e 最小值为f(e)=2-1/e
所以f(x2)-f(x1)>e+2-1/e