Question

已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1，f(1))处的切线方程为y=x-1.

(1).试用a表示出b,c;
(2).若f(x)>=lnx在【1，+oo)上恒成立，求a的取值范围；
(3).证明：1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1).(n>=1)

Answer 1

拜托，（2）问是问a取值，木让你证明f(x)定>=lnx
这道题在百度知道上有加精的回答如下：
（1）f(x)'=a-b/(x*x) 由y=x-1 知 ： f(1)'=1=a-b 则：b=a-1
当x=1时 y=0 即 f(1)=0=a+b+c 则：c=-a-b=1
（2）由，f(x)>=lnx 又 f(1)=0，ln1=0
所以要使 若f(x)>=lnx在[1,正无穷)上恒成立
则要 f(x)'>=lnx' 化简 得
a-b/(x*x)>=1/x
由（1）得 a-（a-1)/(x*x)>=1/x
即 a>=1/(x+1)
即 a>=1/2

但是我

由（1）得 a-（a-1)/(x*x)>=1/x
即 a>=1/(x+1)
即 a>=1/2做不出，楼主或楼上能帮推一下吗？

我只能用笨办法推上面那两步，谁如果知道上面那位高人咋弄的麻烦告诉一下，谢谢

a-(a-1)/x^2>=1/x因为x>=1所以两边同乘x^2
得ax^2-x>=a-1
1 当0<1/2a<=1 2当1/2a>=1
a>=1/2时上式成立 0<a<=1/2时上式不成立

所以的a>=1/2

我很努力了，但还是没能想到上面的高人是咋弄的，一下就出来了，如果谁会教我一下，谢谢了。

Answer 2

（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（II）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax
a-1
x
1-2a-lnx，x∈[1， ∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．
解答：y解：（Ⅰ）f′(x)=a-
b
x2
，
则有
f(l)=a b c=0
f′(l)=a-b=1
，
解得
b=a-1
c=l-2a

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax
a-1
x
1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax
a-1
x
1-2a-lnx，x∈[1， ∞）
则g（l）=0，g′(x)=a-
a-1
x2
-
1
x
=
ax2-x-(a-1)
x2
=
a(x-1)(x-
1-a
a
)
x2

（i）当o＜a＜
1
2
，
1-a
a
＞1
若1＜x＜
1-a
a
，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1， ∞）上恒不成立．
（ii）a≥
1
2
时，
1-a
a
≤l
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为[
1
2
， ∞)

Answer 3

（1）因为点（1，f（1））处切线方程为y=x-1即以此点也是切线上的点所以 f（1）=1-1=0 f（1）=a+b+c=0
由切线方程知：斜率K=1所以在点（1，f（1）） 处f(X)的导数值也为1 即 f‘（1）=a-b/x^2=a-b=1
综上可知 b=a-1 c=1-2a

追问

主要是第（2）（3）两问

追答

令F(X)=f(x)-lnx=ax+(a-1)/x+1-2a-lnx,F'(X)=a-(a-1)/x^2-1/x=a-(x+a-1)/x^2,
因为a>0,x∈[1,+∞),则x+a-1∈[a,+∞），又x^2>=1,所以(x+a-1)/x^2=0
综上F(X)在x∈[1,+∞)单调递增 且有最小值为F(1)=0
所以F(X)>=0,即f(x)>=lnx

Answer 4

@Orchid琨 :设gx求导，分类讨论1和1-a/a的大小，一种得出a大于等于1/2，另一种根据g(1)=0而gx此时应先递减再递增，所以这种情况不符。