Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)

1.判断三角形ABC的形状
2.若2b=a+c,且S三角形ABC=6，求三角形ABC三边的长

Answer 1

1、sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)
={2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}/{2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]}
=tan[(A+B)/2]
=tan[(π-C)/2]
=cot(C/2)
2sin(C/2)cos(C/2)=cos(C/2)/sin(C/2)
cos(C/2)*[2sin(C/2)-1/sin(C/2)]=0
因为sin(C/2)>0且cos(C/2)>0
所以sin(C/2)=根号2/2
C/2=π/4
C=π/2
所以△ABC是直角三角形

2、S△ABC=1/2*ab=6
ab=12
a^2+b^2=c^2
2b=a+c
三式联立，得：a^2+(12/a)^2=(24/a-a)^2=144/a^2=576/a^2-48+a^2
432/a^2=48
a^2=9
a=3
b=4
c=5