Question

已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(0,+∞)上是减函数,且f(2a^2+a+1)<f(-3a^2+2a-1),求函数a的取值范围

已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(0,+∞)上是减函数,且f(2a^2+a+1)<f(-3a^2+2a-1),求函数a的取值范围

Answer 1

2a^2+a+1=2（a^2+a/2)+1=2(a+1/4)^2+7/8 恒大于0

-3a^2+2a-1=-3(a^2-2a/3)-1=-3(a-1/3)^2-2/3 恒小于0
所以-（-3a^2+2a-1）=3a^2-2a+1 恒大于0
因为为偶函数，有f(x)=f(-x)
所以f(-3a^2+2a-1)=f(3a^2-2a+1)
所以有f(2a^2+a+1)<f(3a^2-2a+1),且两者均大于0，因为函数在大于0时为减函数，所以有

2a^2+a+1>3a^2-2a+1
a^2-3a<0
a(a-3)<0
所以0<a<3

Answer 2

2a^2＋a＋1＝2(a＋1/4)^2＋7/8≥7/8
－3a^2＋2a－1＝－(a－1/3)^2－8/9≤－8/9
－(－3a^2＋2a－1)≥8/9

所以，由f(2a^2＋a＋1)＜f(－3a^2＋2a－1)，得：f(2a^2＋a＋1)＜f(3a^2－2a＋1)，由f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数得：

2a^2＋a＋1＞3a^2－2a＋1

得a^2－3a＜0，所以0＜a＜3