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AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD丄AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于
AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD丄AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。1.求证:DE是半圆的切线。2....
AB是半圆O的直径,点C为半径OB上一点,过点C作CD丄AB交半圆O于点D,将△ACD沿AD折叠得到△AED,AE交半圆于点F,连接DF。
1.求证:DE是半圆的切线。
2.连接OD,当OC=BC时,判断四边形ODFA的形状,并证明结论。
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1.求证:DE是半圆的切线。
2.连接OD,当OC=BC时,判断四边形ODFA的形状,并证明结论。
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1、连接OD
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明:连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中,OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明:连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中,OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形
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1、连接OD
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明:连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中,OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明:连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中,OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形
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考点:切线的判定;菱形的判定;圆周角定理;翻折变换(折叠问题).专题:证明题;探究型.分析:(1)连接OD,由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA,由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA,再根据CD⊥AB即可得出结论;
(2)连接OF,可知OC=BC=
12OB=
12OD,由平行线的判定定理可得出OD∥AF,进而可得出△FAO是等边三角形,由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形,由OA=OD即可得出结论.解答:证明:(1)如图,连接OD,则OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵△AED由△ACD对折得到,
∴∠CDA=∠EDA,
又∵CD⊥AB,
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°,D点在半圆O上,
∴DE是半圆的切线;
(2)四边形ODFA是菱形,
如图,连接OF,
∵CD⊥OB,
∴△OCD是直角三角形,
∴OC=BC=12OB=12OD,
在Rt△OCD中,∠ODC=30°,
∴∠DOC=60°,
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA,
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°,
∴OD∥AF,∠FAO=60°,
又∵OF=OA,
∴△FAO是等边三角形,
∴OA=AF,
∴OD=AF,
∴四边形ODFA是平行四边形,
∵OA=OD,
∴四边形ODFA是菱形.点评:本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理及图形翻折变换的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
(2)连接OF,可知OC=BC=
12OB=
12OD,由平行线的判定定理可得出OD∥AF,进而可得出△FAO是等边三角形,由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形,由OA=OD即可得出结论.解答:证明:(1)如图,连接OD,则OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵△AED由△ACD对折得到,
∴∠CDA=∠EDA,
又∵CD⊥AB,
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°,D点在半圆O上,
∴DE是半圆的切线;
(2)四边形ODFA是菱形,
如图,连接OF,
∵CD⊥OB,
∴△OCD是直角三角形,
∴OC=BC=12OB=12OD,
在Rt△OCD中,∠ODC=30°,
∴∠DOC=60°,
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA,
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°,
∴OD∥AF,∠FAO=60°,
又∵OF=OA,
∴△FAO是等边三角形,
∴OA=AF,
∴OD=AF,
∴四边形ODFA是平行四边形,
∵OA=OD,
∴四边形ODFA是菱形.点评:本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理及图形翻折变换的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
参考资料: http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/0b52a0f8-2333-44cb-8fbe-9740b4613e92?a=1
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