Question

AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于

AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。
1.求证：DE是半圆的切线。
2.连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明结论。
速度。。~

Answer 1

1、连接OD
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明：连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中，OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形

Answer 2

1、连接OD
因为OD=OA
所以∠ODA=∠OAD
因为DC⊥AB
所以∠DCA=90°
所以∠CDA+∠DAC=90°
又因为∠EDA=∠CDA
所以∠EDA+∠ADO=∠EDO=90°
即OD⊥ED
所以DE为半圆的切线
2、四边形ODFA为菱形
证明：连接FO
因为OC=BC=1/2OB
所以在Rt△OCD中，OC=1/2OD
所以∠DOC=60°
因为∠DOC=∠OAD+∠ODA
∠OAD=∠ODA
所以∠OAD=∠ODA=30°
因为∠FAD=∠OAD=30°
所以∠FAO=60°
又因为AO=FO
所以△AFO为等边三角形
所以AF=AO
因为∠FAD=∠ADO=30°
所以FA∥DO
所以FA与DO平行且相等
所以四边形ODFA为平行四边形
又因为AO=DO
所以四边形ODFA为菱形

Answer 3

考点：切线的判定；菱形的判定；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题；探究型．分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；
（2）连接OF，可知OC=BC=
12OB=
12OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．解答：证明：（1）如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD对折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，
∴DE是半圆的切线；

（2）四边形ODFA是菱形，
如图，连接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=12OB=12OD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等边三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形ODFA是菱形．点评：本题考查的是切线的判定、菱形的判定定理、圆周角定理及图形翻折变换的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．