Question

如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点

 如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点（Ⅰ）如果AE：EB=AH：HD=CF：FB=GC：GD=k，那么四边形EFGH是什么图形？为什么？（Ⅱ）若在（Ⅰ）的条件上再加上AC=BD，且知EFGH是菱形，求k的值

Answer 1

1

∵AE：EB=AH：HD=CF：FB=GC：GD=k

∴EH//BD,GF//BD 

且EH:BD=AE:AB=k/(k+1)==>EH=kBD/(1+k)

   GF:BD=CF:CB=k/(k+1) ==>GF=kBD/(1+k)

∴EH=GF

∴EFGH是平行四边形

2

若EFGH是菱形，则

   EH=EF

∵AE：EB=CF：FB=k

∴EF:AC=1/(1+K)

∴EF=AC/(1+k)

  EH=kBD/(1+k)

  AC=BD

∴1/(1+k)=k/(1+k)

∴k=1

Answer 2

由AE/EB=AH/HD，EB/EB+AE/EB=HD/HD+AH/HD，即AB/EB=AD/HD，AE/AB=AH/AD,
∠BAD为公用角，所以三角形AEH和三角形ABC相似
∠AEH=∠ABD，∠AHE=∠ADB，所以EH//BD
同理可证GF//BD，所以EH//GF
同理可证EF//GH。
所以四边形EFGH为平行四边形。k=1

Answer 3

(1)因，AE：EB=AH：HD，∠A=∠A
所以，△AEH相似△ABD，即，∠AEH=∠ABD
所以，EH∥BD
同理，CF：FB=GC：GD，∠ABC=∠ADC，有EF∥HG
所以，四边形EFGH是平行四边形
（2）由（1）可知，EH:BD=EF:AC=k
又，AC=BD
EFGH是菱形，即EH=BD=EF=AC
所以，k=1