Question

空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD，E F分别为AD BC中点，求直线CE与平面BCD所成角。

Answer 1

分别过A、E作平面BCD的垂线，垂足分别是O、G。利用赋值法，令AB＝1。
∵AB＝BC＝CD＝DA＝BD，∴A－BCD是正四面体，∴O为△BCD的重心，∴DO＝（2/3）DF。
∵△BCD是等边三角形，∴DF＝（√3/2）BC＝√3/2，∴DO＝（2/3）×（√3/2）＝√3/3。
∴AO＝√（AD^2－DO^2）＝√（1－1/3）＝√6/3。

∵AO⊥平面BCD、EG⊥平面BCD，∴EG∥AO，又AE＝DE，∴EG＝（1/2）AO＝√6/6。
显然有：CE＝DF＝√3/2。
∴sin∠ECG＝EG/CE＝（√6/6）/（√3/2）＝√2/3。
∴∠ECG＝arcsin（√2/3）。
∴CE与平面BCD所成的角为 arcsin（√2/3）。