Question

AD是三角形ABC的角平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别为E、F，连接EF，交AD于G

AD是三角形ABC的角平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别为E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。

Answer 1

因为角平分线上的点到两脚边的距离相等，所以DE=DF，所以三角形EDF是等腰三角形，只要证明AD同样是角EDG的角平分线，根据等腰三角形定理，顶角平分线垂直底边，就可以证明了。
因为AD是∠BAC的角平分线，又DE⊥AB，DF⊥AB，所以△AED≌△AGD，所以∠EDA=∠GDA，所以DG是三角形EDG的顶角平分线，所以EF⊥AD

Answer 2

解：AD垂直EF．
∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF．
∴点D在EF的垂直平分线上，∠DEF=∠DFE，
∵∠DEA=∠DFA=90°，
∴∠FEA=∠EFA，
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直EF．