Question

当0<x<π/2时,函数f(x)=(1+cos2x+8sin²x)/sin2x的最小值为

我已经算到（1+4tan²x）/ tanx。。然后下一步呢

Answer 1

解：f(x)=(1+cos2x+8sin²x)/sin2x
=（1+2cos²x-1+8sin²）/2sinxcosx
=（cos²x+4sin²x）/（sinxcosx）
=1/tanx+4tanx
因为0<x<π/2，所以tanx＞0
所以有均值不等式得：1/tanx+4tanx≥2√4=4
当且仅当1/tanx=4tanx，即：tanx=1/4时成立
所以f(x)的最小值为4
希望我的回答对你有帮助！goodluck

Answer 2

f(x)=(1+cos2x+8sin²x)/sin2x
=(2cos²x+8sin²x)/(2sinxcosx)
=1/tanx+4tanx
因为 0<x<π/2
所以 tanx>0
上式≥2√[(1/tanx)*4tanx]=2√4=4

最小值为4

追问

答案是最小值为4。我已经算出了（1+4tan²x）/ tanx

追答

（1+4tan²x）/ tanx
=1/tanx+4tanx
因为00
用基本不等式

追问

（1+4tan²x）/ tanx
=1/tanx+4tanx
这步看不懂

追答

（1+4tan²x）/ tanx
=[1/tanx]+[4tan²x/tanx]
=1/tanx+4tanx

不是分式分成两个吗

追问

[1/tanx]+[4tan²x/tanx]
=1/tanx+4tanx我就是不懂这步。我化成的是（1/tanx）+4tanx难道4tanx可以到另一个式子的分母吗？╯﹏╰我有点笨

追答

“我化成的是（1/tanx）+4tanx”
你化对了啊 就是这样的

追问

哦哦哦 tanx>0
上式≥2√[(1/tanx)*4tanx]=2√4=4 这步不懂啊
你写详细点，不然我又不会 - -

追答

有一个基本不等式的：
a>0 b>0
则
a+b≥2√(ab)
这个是根据这个来的：
a²+b²≥2ab 【(a-b)²≥0 →a²+b²-2ab≥0→a²+b²≥2ab】

追问

我算到了1/tanx+4tanx≥2根号1/tanx+4tanx 然后怎么呢

追答

根号地下是乘号 不是加号啊

追问

打错了。。然后怎么算啊

追答

然后根号底下就是 [1/tanx]*(4tanx)=4
所以 开出来就是2
结果=2x2=4

追问

恩恩 非常谢谢 我能加你QQ吗

追答

没问题